Übungsaufgabe „Seil um die Erde“

Aufgabenstellung

Um den Äquator der Erde wird eng ein Seil angelegt. Nun wird dieses Seil um einen Meter verlängert und wieder gleichmäßig um die Erde gelegt.

  1. Wie groß ist der Abstand zwischen Erdoberfläche und Seil?
  2. Das gleiche mit einem Tennisball.

Schritte zur Lösung

Gegeben ist der Erdradius. Daraus berechnen wir den Erdumfang. Diesen verlängern wir um einen Meter und erhalten den Umfang des verlängerten Seils. Und daraus berechnen wir den Radius des verlängerten Seils. Die Differenz beider Radien ist der gesuchte Abstand.

Lösungsweg

Der Kreis, um den es in dieser Aufgabe geht, ist zunächst der Äquator, und sein Radius ist der Erdradius. Wir können einen mittleren Erdradius nachschlagen, oder wir bezeichnen ihn zunächst mit \(r\) und legen fest, dass er in Metern gemessen wird. Die Länge des Seils um die Erde ist dann
$$U=2\pi r$$

Wenn wir das Seil um einen Meter verlängern, hat es die neue Länge
$$U'=2\pi r+1$$

Den Radius des verlängerten Seils bezeichnen wir mit \(r'\). Für das verlängerte Seil gilt die Formel
$$U'=2\pi r'$$

Durch Gleichsetzen dieser beiden Terme für \(U'\) folgt:
$$2\pi r+1=2\pi r'$$

Nun teilen wir die Gleichung durch \(2\pi\) und erhalten den Radius des verlängerten Seils:
$$r'=r+\frac 1{2\pi}$$

Und das wiederum liefert den Abstand zwischen Seil und Erdoberfläche als Differenz beider Radien:
$$r'-r=\frac 1{2\pi}=0,159\text{ m}$$

Die Rechnung zeigt folgendes: Wenn wir um einen Kreis ein Seil legen und dieses um einen Meter verlängern, dann ist der Abstand zwischen Kreis und Seil immer 0,159 m. Egal, ob es sich um einen Tennisball oder die Erde handelt!

Das liegt daran, dass der Umfang eines Kreises proportional zum Radius ist, und zwar mit dem Proportionalitätsfaktor \(2\pi\). Das wird durch die Formel \(U=2\pi\cdot r\) ausgedrückt. Und es bedeutet:

  • Wenn wir den Radius eines Kreises um 1 erhöhen, vergrößert sich sein Umfang um \(2\pi\).
  • Und wenn wir den Umfang eines Kreises um 1 erhöhen, vergrößert sich sein Radius um \(\frac 1{2\pi}\).

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