Übungsaufgabe zur Fakultät mit Lösungsweg

Wie ist die Fakultät einer Zahl definiert? Berechne 5! und 6! im Kopf sowie 10! mit dem Taschenrechner. Was ist \(\frac{10!}{9!}\) und allgemein \(\frac{n!}{(n-1)!}\)?

Lösung

Für alle natürlichen Zahlen \(n\) ist die Fakultät \(n!\) definiert als das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen: $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot (n-1)\cdot n$$

Damit ist:

  • \(5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120\)
  • \(6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=120\cdot 6=720\)
  • \(10! = 3628800\) (laut Taschenrechner)

Bei Brüchen mit Fakultäten kann man viel kürzen, wie folgende Rechnung zeigt:
$$\frac{10!}{9!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=10$$

Allgemein gilt:
$$\frac{n!}{(n-1)!}=n$$

Und man kann auch noch weiter folgern für beliebige natürliche Zahlen \(k<n\):
$$\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$$

Zum Beispiel ist:
$$\frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8$$

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