Tutorial: Quadratische Gleichungen lösen

In diesem Artikel zeige ich dir, wie man die Lösungen einer quadratische Gleichung bestimmt. Das sind Gleichungen, in denen die Variable x als quadratischer Term x^2 vorkommt. Eine solche Gleichung kann zwei Lösungen, eine oder auch keine Lösung haben.

Es gibt verschiedene Verfahren, aber nicht jedes funktioniert bei jeder Gleichung. Deshalb lernst du hier, wie du den einfachsten Lösungsweg für jede qadratische Gleichung findest. Bei größeren Gleichungen muss man manchmal auch mehrere dieser Verfahren kombinieren.

Wurzel ziehen Teil 1

Wenn in der Gleichung nur x^2 vorkommt, aber nicht x, ist es eine reinquadratische Gleichung. So wie die folgende:

    \[-3x^2+12=-36\]

Solch eine Gleichung kann man durch Termumformung immer so umformen, dass der Term x^2 auf einer Seite isoliert ist, d.h. alleine steht.

    \[\begin{array}{rrcll}&-3x^2+12&=&-36&\qquad |-12\\ \Longleftrightarrow&-3x^2&=&-48&\qquad |:(-3)\\ \Longleftrightarrow&x^2&=&16\end{array}\]

Im ersten Schritt subtrahierst du auf beiden Seiten der Gleichung 12. Dann teilst du beide Seiten der Gleichung durch „-3“. Diese Schritte heißen Äquivalenzumformungen. Das bedeutet: Die Gleichung x^2=16 hat die gleichen Lösungen wie -3x^2+12=-36, ist aber viel einfacher geworden.

Die Gleichung x^2=16 fragt nach einer Zahl x, deren Quadrat 16 ist. Eine solche Zahl ist \sqrt{16}, also 4. Aber das ist nicht alles, denn auch das Quadrat von -4 ist 16. Wir haben also zwei Lösungen und schreiben:

    \[\begin{array}{rrcll}&x^2&=&16\qquad |\sqrt\\ \Longleftrightarrow&x&=&4\text{ oder }x=-4\end{array}\]

Das Wurzelzeichen \sqrt zeigt an, das auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen wird. Dabei darf man die negative Lösung auf der rechten Seite nicht vergessen.

Die Gleichung -3x^2+12=-36 hat also die Lösungen 4 und -4. Hier nochmal die ganze Rechnung am Stück:

    \[\begin{array}{rrcll}&-3x^2+12&=&-36&\qquad |-12\\ \Longleftrightarrow&-3x^2&=&-48&\qquad |:(-3)\\ \Longleftrightarrow&x^2&=&16&\qquad|\sqrt\\ \Longleftrightarrow&x&=&4\text{ oder }x=-4\end{array}\]

Hier noch ein weiteres Beispiel:

    \[\begin{array}{rrcll}&8-2x^2&=&2&\qquad |-8\\ \Longleftrightarrow&-2x^2&=&-6&\qquad |:(-2)\\ \Longleftrightarrow&x^2&=&3&\qquad|\sqrt\\ \Longleftrightarrow&x&=&\sqrt 3\text{ oder }x=-\sqrt 3\end{array}\]

\sqrt 3 lässt sich nicht als exakte Zahl angeben. Man muss dann keine gerundete Kommazahl hinschreiben, sondern kann einfach \sqrt 3 stehenlassen. Das ist exakter und hat Vorteile, wenn man damit weiter rechnen will.

Wann wird das Verfahren „Wurzel ziehen“ angewendet?

Immer, wenn die Variable x nur in einem Quadrat x^2 vorkommt. Das kann auch (x+3)^2 oder (x-5)^2 sein, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Wurzel ziehen Teil 2

Das Verfahren „Wurzel ziehen“ funktioniert auch bei der folgenden Aufgabe:

    \[\begin{array}{rrcll}&2(x-5)^2+3&=&7&\qquad |-3\\ \Longleftrightarrow&2(x-5)^2&=&4&\qquad |:2\\ \Longleftrightarrow&(x-5)^2&=&2&\qquad|\sqrt\\ \Longleftrightarrow&x-5&=&\sqrt 2\text{ oder }x-5=-\sqrt 2&\qquad +5\\ \Longleftrightarrow&x&=&5+\sqrt 2\text{ oder }x=5-\sqrt 2\end{array}\]

Die Aufgabe funktioniert genauso wie die vorigen: Der quadratische Term (x-5)^2 wird isoliert, dann wird die Wurzel gezogen. Am Ende muss nur noch die 5 auf die andere Seite gebracht werden. Man schreibt gerne 5+\sqrt 2 und nicht \sqrt 2+5, damit man sofort sieht, dass die 5 nicht unter der Wurzel steht.

Zwischenfazit: Eine Gleichung der Form 2(x-5)^2+3=0 lässt sich schnell und ohne viel Mühe lösen, wie wir gesehen haben. Deshalb ist unser nächstes Ziel, auch andere Gleichungen wie x^2-8x+11=0 in eine solche Form umzuwandeln. Ein wichtiges Hilfsmittel dabei sind die binomischen Formeln.

Exkurs: Die binomischen Formeln

Für das nachfolgende brauchen wir die binomischen Formeln, die wir hier zunächst wiederholen:

  1. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  2. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
  3. (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Nachrechnen kann man diese Formeln durch Ausmultiplizieren der Klammern:

    \[(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]

Jetzt wollen wir sie aber anwenden, und zwar auf solche Terme, wie sie in quadratischen Gleichungen vorkommen:

  • (x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9
  • (x-5)^2=x^2-10x+25
  • (x+10)^2=x^2+20x+100
  • (x-7)^2=x^2-14x+49

Das geht auch andersherum. Welche Zahl gehört in die Lücke?

  • x^2+8x+16=\left(x+\qquad\right)^2
  • x^2-12x+36=\left(x-\qquad\right)^2
  • x^2+2x+1=\left(x+\qquad\right)^2
  • x^2-6x+\qquad=(x+\qquad)^2
  • x^2+14x+\qquad=(x+\qquad)^2
  • x^2-3x+\qquad=(x+\qquad)^2

Binomische Formel bei quadratischen Gleichungen

Wir schauen uns die folgende Gleichung an:

    \[x^2-10x+25=0\]

Wir erkennen, dass wir den Term auf der linken Seite mit einer binomischen Formel in ein Quadrat verwandeln können:

    \[(x-5)^2=0\]

Nun können wir die Gleichung durch Wurzelziehen leicht lösen: Aus x-5=0 folgt x=5 als einzige Lösung.

Quadratische Ergänzung

Nun betrachten wir die folgende Gleichung:

    \[x^2-14x+33=0\]

Das Minuszeichen deutet auf die zweite binomische Formel hin, aber die Zahlen passen nicht zusammen. x^2-14x+\ldots müsste eigentlich zu (x-7)^2 umgeformt werden, aber 7^2 ist 49, und das steht nicht in der Gleichung.

Es gibt aber einen alten Trick in der Mathematik: Wenn einem etwas fehlt in einer Formel, fügt man es hinzu und nimmt es wieder weg, damit das Ergebnis nicht verfälscht wird. Hier ist es so, dass wir „+49“ als dritten Summand für die binomische Formel benötigen. Also addieren wir es und subtrahieren es gleichzeitig wieder:

    \[x^2-14x+49-49+33=0\]

Jetzt können wir die ersten drei Summanden mit der binomischen Formel umwandeln, und -49+33 wird zu -16 zusammengefasst:

    \[(x-7)^2-16=0\]

Dieses Verfahren heißt quadratische Ergänzung, weil der Term so ergänzt wird, dass er in ein Quadrat verwandelt werden kann. Ab jetzt können wir die Aufgabe zuende rechnen, wie wir es von weiter oben kennen:

    \[\begin{array}{rrcll}&(x-7)^2&=&16&\qquad|\sqrt\\ \Longleftrightarrow&x-7&=&4\text{ oder }x-7=-4&\qquad |+7\\ \Longleftrightarrow&x&=&11\text{ oder }x=3\end{array}\]

Was ist jetzt zu tun? Wenn du das obige Beispiel verstanden hast, musst du die quadratische Ergänzung selbst einüben. Dazu bekommst du hier ein paar Beispielgleichungen und kannst dir natürlich auch selbst welche mit beliebigen Zahlen ausdenken:

  • x^2+10x+12=0
  • x^2-6x+4=0
  • x^2+5x-8=0
  • 3x^2-9x+6=0

In der letzten Gleichung teilst du zunächst die ganze Gleichung durch 3, um den Faktor vor dem x^2 wegzubekommen. Du hast dann die Gleichung x^2-3x+2=0.

Rechenbeispiel Quadratische Ergänzung

Nun rechnen wir ein ganzes Beispiel mit qudratischer Ergänzung bis zur Lösungsmenge durch:

    \[4x^2-4x=24\]

Wir bringen die 24 auf die linke Seite, damit rechts 0 steht:

    \[4x^2-4x-24=0\]

Wir teilen alle Summanden der Gleichung durch 4, damit vor x^2 kein Faktor mehr steht:

    \[x^2-x-6=0\]

Jede quadratische Gleichung lässt sich auf diese Normalform bringen: Alle Summanden stehen links, rechts steht 0, und vor dem x^2 steht kein Faktor. An dieser Stelle beginnt die quadratische Ergänzung.

Wir schauen uns die beiden Summanden x^2-1x an. Die Hälfte von 1 ist 0,5, also müssen wir 0,5^2 ergänzen:

    \[x^2-1x+0,5^2-0,5^2-6=0\]

x^2-1x+0,5^2 wird zum binomischen Term (x-0,5)^2, und -0,5^2-6 ergibt -6,25:

    \[(x-0,5)^2-6,25=0\]

Wir addieren auf beiden Seiten 6,25:

    \[(x-0,5)^2=6,25\]

Jetzt können wir die Wurzel ziehen:

    \[x-0,5=2,5\text{ oder }x-0,5=-2,5\]

Addition von 0,5 liefert die Lösungen:

    \[x=3\text{ oder }x=-2\]

Bei diesem letzten Schritt passieren übrigens gerne noch Vorzeichenfehler, z.B. wenn man zu einer negativen Zahl etwas addieren soll. Also Vorsicht! Wenn gefordert, kann man jetzt noch die Lösungen der Gleichung als Lösungsmenge formulieren:

    \[\mathbbm L=\{3,\ -2\}\]

p-q-Formel

    \[x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}\]

Nullprodukt

Ein Nullprodukt ist eine Malaufgabe, deren Ergebnis 0 ist. Also zum Beispiel 3\cdot 0 oder 0\cdot 5. Findest du auch ein Nullprodukt, bei dem keiner der Faktoren 0 ist? Nein, das geht nicht!

Wenn ein Produkt (also eine Malaufgabe) 0 ergibt, dann muss schon einer der Faktoren 0 sein.

Mit dieser sehr einleuchtenden Aussage kann man Gleichungen wie die folgende sehr schnell lösen:

    \[\begin{array}{rl}&(x-3)\cdot(2x+4)=0\\ \Longleftrightarrow&x-3=0\text { oder }2x+4=0\\ \Longleftrightarrow&x=3\text{ oder }x=-2\end{array}\]

Das Produkt der Terme (x-3) oder (2x+4) kann nur 0 ergeben, wenn schon einer der beiden Faktoren 0 ist. Also können wir beide Faktoren einzeln 0 setzen und erhalten jeweils eine Lösung der Gleichung.

Warum ist (x-3)\cdot(2x+4)=0 eigentlich eine quadratische Gleichung? Man sieht das x^2, wenn man die Klammer ausmultipliziert:

    \[(x-3)\cdot(2x+4)=2x^2-6x+4x-12=2x^2-2x-12\]

Die Gleichung ist aber in der Faktordarstellung (x-3)\cdot(2x+4)=0 viel schöner, weil wir sehr einfach ihre Lösungen bestimmen können. Jeder der Linearfaktoren (x-3) und (2x-4) führt auf eine Lösung der Gleichung.

Wichtig: Das geht tatsächlich nur, wenn auf der anderen Seite 0 steht. Eine Gleichung der Form (x-3)(x+5)=4 können wir damit nicht lösen. Da hilft nur Klammern auflösen und auf die weiter unten genannten Verfahren vertrauen.

Ausklammern

Einige Terme sind zwar kein Nullprodukt, können aber leicht in ein solches verwandelt werden. Schau dir folgende Gleichung an:

    \[3x^2-2x=0\]

Jeder Summand enthält die Variable x (denn x^2 ist ja einfach x\cdot x). Wir können also ein x ausklammern:

    \[3x^2-2x=3x\cdot x-2x=x\cdot(3x-2)\]

Man kann sich das so vorstellen, dass aus jedem Summand ein Faktor x herausgenommen und vor die Klammer gezogen wird, wo er dann für den ganzen Term gilt. Mathematisch ist es das Assoziativgesetz, das hier angewendet wird: a\cdot b + a\cdot c = a\cdot(b+c).

Mit „Ausklammern“ und „Nullprodukt“ können wir nun auch diese Gleichung schnell lösen:

    \[\begin{array}{rrcl}&3x^2-2x&=&0\\ \Longleftrightarrow&x(3x-2)&=&0\\ \Longleftrightarrow&x&=&0\text{ oder }3x-2=0\\ \Longleftrightarrow&x&=&0\text{ oder }x=\frac 23\end{array}\]

Wann wird das Verfahren „Ausklammern“ angewendet? Wenn jeder Summand die Variable x oder eine Potenz x^2, x^3... enthält. Man sagt auch: Es gibt kein Absolutglied, also keinen Summanden wie +3, der kein x enthält.

Substitution

Polynomdivision

Horner Schema

Linearfaktoren

Probe mit dem Satz von Vieta

Lösungen finden mit dem Satz von Vieta

Zusammenfassung: Wann welches Verfahren?

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