Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

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Heute gibt es mal etwas Wahrscheinlichkeitsrechnung. In Verbindung mit einer kleinen Aufgabe erkläre ich Begriffe wie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit. Hier kommt zunächst die Aufgabe:

Ein idealer sechsseitiger Würfel wird geworfen. Gegeben sind die Ereignisse , , . Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

Zufallsexperiment

Das Werfen eines Würfels ist ein klassisches Beispiel für ein Zufallsexperiment: Die möglichen Ergebnisse stehen fest, genau eines von ihnen wird eintreten, aber zufallsbedingt können wir nicht sagen, welches von ihnen eintreten wird.

Die Menge der möglichen Ergebnisse bildet den Ergebnisraum . Beim Würfeln ist dies die Menge der Augenzahlen:

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

Ergebnis und Ereignis

Der Würfel wird geworfen, und genau eines der Ergebnisse des Ergebnisraums ist gefallen, beispielsweise eine 4. Wir können nun bestimmen, ob dieses Ergebnis ein bestimmtes Ereignis E erfüllt. Wir sagen dann, das Ereignis E ist eingetreten. Beispiele für Ereignisse können sein:

  • A: Die gewürfelte Zahl ist gerade.
  • B: Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 4.
  • C: Die gewürfelte Zahl ist eine 6.

Jedes dieser Ereignisse können wir durch eine Menge von Zahlen modellieren. Das sind diejenigen Zahlen, welche das beschriebene Ereignis erfüllen:

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung will jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, mit der es eintritt. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie sicher dieses Ereignis eintritt. Dabei steht 0 für das unmögliche Ereignis, das gar nicht eintritt, und 1 (=100 %) für das sichere Ereignis, das auf jeden Fall eintritt.

Laplace-Experiment

Wenn in einem Zufallsexperiment jedes Ergebnis die gleiche Chance hat, einzutreffen, dann nennt man dieses ein Laplace-Experiment. Ein Würfelwurf ist dann ein Laplace-Experiment, wenn der Würfel "ideal" ist, d.h. wenn er so gleichmäßig geformt ist, dass alle Seiten gleich oft fallen, wenn man nur oft genug würfelt.

Mächtigkeit von Mengen

In einem Laplace-Experiment kann man Wahrscheinlichkeiten bestimmen, indem man die Anzahl der Ergebnisse in den beteiligten Ereignissen zählt. Die Anzahl der Elemente in einer Menge heißt die Mächtigkeit von und wird mit bezeichnet. Für die oben erwähnten Mengen gilt:

Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment

Im Laplace-Experiment benötigt man für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zwei Zahlen:

  • Die Mächtigkeit des Ergebnisraums - die Anzahl aller möglichen Ergebnisse
  • Die Mächtigkeit des Ereignisses - die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse.

Das fassen wir in folgende Formel zusammen:

$$P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac{\text{Anzahl der für $A$ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$$

Beispiele

Das ist leichter anzuwenden als es aussieht. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse . Die Mächtigkeiten der Mengen haben wir oben schon abgezählt:

  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gewürfelte Zahl gerade?
    $$P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac 36=\frac 12=0,5=50\%$$
  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gewürfelte Zahl kleiner als 4?
    $$P(B)=\frac{|B|}{|S|}=\frac 36=\frac 12=0,5=50\%$$
  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gewürfelte Zahl eine 6?
    $$P(C)=\frac{|C|}{|S|}=\frac 16$$

Zurück zur Ausgangsaufgabe

Wir wollen nun bestimmen. Die Menge enthält alle Ergebnisse, die in und in enthalten sind. Das sind die Zahlen, die gerade und kleiner als 4 sind:

$$A\cap B=\{2\}$$

Also gilt .

Und was ist ? Das sind die Zahlen, die in mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind. Werfe die Zahlen von beiden Mengen in einen Topf und zähle die Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen, nicht doppelt.

Der Rest der Aufgabe ist für dich jetzt sicher eine leichte Übung. Viel Spaß!

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