Bewegungsaufgabe: Wo treffen sie sich?

am

Heute habe ich eine Bewegungsaufgabe für euch. Sie gehört zum Themengebiet Lineare Funktionen und Anwendung in der Physik (Gleichförmige Geschwindigkeit). Hier zunächst die Aufgabe:

Lena und Ben wohnen 210 km voneinander entfernt. Für ein Treffen beschließen sie, um 18:00 Uhr aufzubrechen und einander entgegenzufahren. Lena erreicht eine mittlere Geschwindigkeit von 80 km/h, Ben von 60 km/h.

  1. Wie weit von Lenas Wohnort entfernt treffen die beiden einander?
  2. Für ein weiteres Treffen wählen sie denselben Ort. Diesmal kann auch Ben mit einer mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h fahren. Wie lange muss er auf Lena warten?

Bezugssystem festlegen

Im Physikkurs der Oberstufe hatte ich einen hervorragenden Lehrer, bei dem man einiges lernen konnte. Und er hat uns drei Jahre lang eingebleut: Bevor man losrechnet, muss man zuerst ein Bezugssystem festlegen! Die Orte in der Aufgabe werden mit Koordinaten versehen.

Das bedeutet: Es werden in dieser Aufgabe zwei Orte genannt: Der Wohnort von Ben und der Wohnort von Lena. Einer davon ist der Nullpunkt. Wir setzen den Wohnort von Lena als Nullpunkt, und die anderen Orte in der Aufgabe werden dadurch beschrieben, wie weit sie von Lenas Wohnort entfernt sind. Der Wohnort von Ben hat also die Koordinate 210 (in km angegeben). Welchen Ort man als Nullpunkt wählt, ist egal. Er muss nur fest gewählt sein und ändert sich im weiteren Verlauf nicht mehr.

Bewegungsgleichungen aufstellen

Nachdem wir das Bezugssystem festgelegt haben, können wir für die Bewegungen von Lena und Ben Funktionsgleichungen aufstellen. Wenn sich ein Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, nennt man das eine gleichförmige Bewegung. Und die Funktionsgleichung dafür lautet:

$$s(t)=s_0+v\cdot t$$

Die Variablen haben folgende Bedeutung:

  • Für können wir eine beliebige Zeit (in Stunden) einsetzen. Dabei steht für den Zeitpunkt, zu dem Ben und Lena starten.
  • ist der Ort, an dem sich das Objekt zum Zeitpunkt befindet.
  • ist die Geschwindigkeit, mit der sich das Objekt bewegt, hier in km/h gemessen.
  • ist der Ort, an dem sich das Objekt nach Sekunden befindet. Dabei kann einen beliebigen Wert haben, je nachdem, wie lange die Bewegung dauert.

Die Bewegung von Lena können wir demnach mit folgender Gleichung beschreiben. Wir schreiben , um sie von der Bewegung von Ben zu unterscheiden:

$$s_1(t)=0+80\cdot t$$

Die Bewegung von Ben beschreiben wir mit folgender Gleichung:

$$s_2(t)=210-60\cdot t$$

Ben startet in unserem Bezugssystem an der Stelle 210 und bewegt sich mit negativer Geschwindigkeit, da seine Ortskoordinaten mit der Zeit kleiner werden.

Terme gleichsetzen und Gleichung lösen

Die Aufgabe fragt, wo die beiden sich treffen. Die Funktionsgleichungen können uns zuerst die Frage beantworten, wann sie sich treffen. Die Zeit ist nämlich die Variable in den Gleichungen. Wir fragen also: Wann sind Ben und Lena am gleichen Ort? Mathematisch formuliert: Zu welchem Zeitpunkt gilt:

$$s_1(t)=s_2(t)$$

Wir setzen die Funktionsterme ein und erhalten:

$$80t=210-60t$$

Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten aus die Lösung

$$t=\frac 23$$

Diese Zeitangabe ist in Stunden. Um sie in Minuten umzurechnen, multiplizieren wir sie mit 60 und erhalten die Information, dass die beiden sich nach 40 Minuten treffen.

Ort berechnen

Wir rechnen aber mit dem Stundenwert weiter und setzen in die Bewegungsgleichung von Lena ein. Denn diese sagt uns ja, wo Lena sich zu einem beliebigen Zeitpunkt befindet. Wir hätten auch die Gleichung von Ben nehmen können, denn zum Zeitpunkt des Treffens sind ja beide am gleichen Ort:

$$s_1\left(\frac 23\right)=80\cdot\frac 23=\frac{160}3=53\frac 13$$

Sie treffen sich also km von Lenas Wohnort entfernt.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.