Gleichung mit Brüchen und Klammern lösen

Heute wollen wir eine Gleichung mit Klammern und Brüchen lösen. Wir machen sie Schritt für Schritt ein Stück einfacher, bis wir die Lösung für x gefunden haben.

Hier kommt nun die Gleichung:

    \[2\frac 13\cdot\left(5x-8\right)-\frac{x+3}2=1\frac 12+\frac 13x\]

Gemischte Zahlen loswerden

Die Zahlen 2\frac 13 und 1\frac 12 heißen gemischte Zahlen, weil sie aus einer ganzen Zahl und einem Bruch bestehen. Mit gemischten Zahlen rechnen ist unübersichtlich und lästig, deshalb wandeln wir sie zuerst in einen Bruch um:

    \[2\frac 13=\frac 21+\frac 13=\frac 63+\frac 13=\frac 73\]

    \[1\frac 12=\frac 11+\frac 12=\frac 22+\frac 12=\frac 32\]

Nun sieht unsere Gleichung so aus:

    \[\frac 73\cdot\left(5x-8\right)-\frac{x+3}2=\frac 32+\frac 13x\]

Brüche loswerden

Für viele sind Brüche generell lästig. Deshalb zeige ich hier einen Weg, sie ganz loszuwerden. Dazu bestimmen wir zunächst den Hauptnenner aller Nenner in der Gleichung, das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner.

In der Gleichung kommen die Nenner 2 und 3 vor, deren kgV ist 6. Wir erweitern alle Brüche,d.h. wir multiplizieren Zähler und Nenner so, dass alle Brüche den Nenner 6 haben:

    \[\underbrace{\frac {14}6\cdot\left(5x-8\right)}-\underbrace{\frac{3(x+3)}6}=\underbrace{\frac 96}+\underbrace{\frac 26x}\]

Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 6, d.h. wir müssen jeden Summanden mit 6 malnehmen. Zur Verdeutlichung habe ich unter jeden Summanden eine Klammer gesetzt. Man sieht, dass dabei alle Nenner verschwinden:

    \[14\cdot(5x-8)-3(x+3)=9+2x\]

Klammern auflösen

Die Gleichung ist nun schon viel einfacher. Jetzt ist es an der Zeit, die Klammern auzumultiplizieren:

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