Gleichung mit Brüchen und Klammern lösen

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Heute wollen wir eine lineare Gleichung mit Brüchen und Klammern lösen:

$$2\frac 13\cdot\left(5x-8\right)-\frac{x+3}2=1\frac 12+\frac 13x$$

Die Gleichung sieht unübersichtlich aus, aber wenn man Schritt für Schritt vorgeht, ist sie nicht so schwer. Wir schauen uns zuerst an, welche Elemente sie enthält:

  • Gemischte Zahlen und : Rechnen mit gemischten Zahlen ist fehleranfällig, deshalb wandeln wir sie zuerst in Brüche um.
  • Brüche mit Zahlen im Nenner: Diese Brüche werden als nächstes bearbeitet. Da die Variable nicht im Nenner vorkommt, ist das nicht so schwer.
  • Klammern: Die Klammer wird mit dem Bruch multipliziert und dadurch aufgelöst.

Jetzt aber ans Werk, wir beginnen mit den gemischten Zahlen.

Gemischte Zahlen loswerden

Die Zahlen und heißen gemischte Zahlen, weil sie aus einer ganzen Zahl und einem Bruch bestehen. Mit gemischten Zahlen rechnen ist unübersichtlich und lästig, deshalb wandeln wir sie zuerst in einen Bruch um:

$$2\frac 13=\frac 21+\frac 13=\frac 63+\frac 13=\frac 73$$

$$1\frac 12=\frac 11+\frac 12=\frac 22+\frac 12=\frac 32$$

Nun sieht unsere Gleichung so aus:

$$\frac 73\cdot\left(5x-8\right)-\frac{x+3}2=\frac 32+\frac 13x$$

Brüche loswerden

Für viele sind Brüche generell lästig. Deshalb zeige ich hier einen Weg, sie ganz loszuwerden. Dazu bestimmen wir zunächst den Hauptnenner aller Nenner in der Gleichung, das ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner.

In der Gleichung kommen die Nenner 2 und 3 vor, deren kgV ist 6. Wir erweitern alle Brüche,d.h. wir multiplizieren Zähler und Nenner so, dass alle Brüche den Nenner 6 haben:

$$\underbrace{\frac {14}6\cdot\left(5x-8\right)}-\underbrace{\frac{3(x+3)}6}=\underbrace{\frac 96}+\underbrace{\frac 26x}$$

Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 6, d.h. wir müssen jeden Summanden mit 6 malnehmen. Zur Verdeutlichung habe ich unter jeden Summanden eine Klammer gesetzt. Man sieht, dass dabei alle Nenner verschwinden:

$$14\cdot(5x-8)-3(x+3)=9+2x$$

Klammern auflösen

Die Gleichung ist nun schon viel einfacher. Jetzt ist es an der Zeit, die Klammern auzumultiplizieren:

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